Für die fortgeschrittenen Lösetechniken werden sogenannte Kandidatenlisten benötigt. In den Kandidatenlisten wird für jedes freie Feld aufgeschrieben, welche Zahlen (Kandidaten) noch in diesem Feld stehen können. Bevor ausführlicher erklärt wird, was es damit auf sich hat, sollen die Kandidatenlisten jedoch anhand eines Beispiels erläutert werden: In Abbildung 1a sehen Sie ein Sudoku.

Wenn Sie bei diesem Rätsel nur die Grundtechniken benutzen, werden Sie zwar etliche Zahlen herausbekommen, aber nach einiger Zeit nicht mehr weiterkommen. Das Sudoku dürfte zu diesem Zeitpunkt etwa wie in Abbildung 1 b aussehen. 

Betrachten Sie das Gebiet oben links. Hier gibt es noch vier Möglichkeiten für die Eins. Die beiden Felder in der zweiten Spalte können Sie, wie in Abbildung 1c zu sehen ist, sehr schnell ausschließen, da es in dieser Spalte bereits eine eins gibt. Auf den ersten ersten Blick scheint es, als käme man hier nicht weiter, denn um eines der beiden verbleibenden Felder ausschließen zu können, benötigt man Informationen über eine Eins in der ersten oder dritten Zeile.  

Um an dieser Stelle weiterzukommen, betrachten Sie die Spalte ganz rechts. Hier fehlen nur noch eine Eins und eine Fünf in den beiden Feldern ganz oben. Ähnlich sieht es in der vierten Spalte von links aus. Hier fehlen nur noch drei Zahlen, eine Eins, eine Zwei und eine Fünf. Wichtig ist hierbei, dass die Eins wiederum nur in einem der beiden oberen Feldern stehen kann, da sich in der vierten Zeile von unten, in der sich das dritte leere Feld befindet, bereits eine Eins steht.

Ergebnis: In den oberen beiden Feldern der vierten und der letzten Spalte steht jeweils eine Eins. Diese beiden Einsen dürfen aber nicht in derselben Zeile stehen, weshalb die eine der beiden Einsen in der ersten Zeile und die andere in der zweiten Zeile stehen muss. Damit kann aber in allen anderen Feldern der ersten zwei Zeilen keine Eins mehr stehen. In Abbildung 1d sind diese Felder mit einem Kreuz markiert. 

Nachdem Sie ursprünglich die Eins im Gebiet oben links gesucht haben, werden Sie feststellen, dass inzwischen nur noch ein geeignetes Feld übrig bleibt. Sie können jetzt die Eins, wie in Abbildung 1d zu sehen, eintragen.

Während der Suche im vorangegangenen Beispiel haben Sie wie nebenbei noch mehr herausgefunden als nur die Stellung der Eins im Gebiet oben links. Sie konnten in den ersten beiden Zeilen bei weiteren Feldern Einsen ausschließen. Diese Informationen können Sie für sich nutzen.

Dazu schreiben Sie in jedes Feld all die Zahlen, die Sie in diesem Feld bislang noch nicht ausschließen konnten. In Abbildung 2a sehen Sie dies für das Beispiel aus Abbildung 1b. Im Feld oben links können die Zahlen 7, 3, 6 und 9 nicht vorkommen, da diese bereits für die erste Spalte bekannt sind. Weiterhin können Sie die Zahlen 4, 9, 3, 6 und 7 ausschließen, da diese in der ersten Zeile stehen. Und schließlich kann man die Zahlen 4, 7, 3, 6 und 9 ausklammern, da diese bereits im Gebiet oben links vorhanden sind. Übrig bleiben vier Zahlen für die Kandidatenliste: 1, 2, 5 und 8.

Wenn Sie jetzt, wie oben beschrieben, die Eins im Gebiet oben links herausgefunden haben, können Sie bei den Kandidatenlisten in den Feldern, die in Abbildung 1d mit einem Kreuz markiert wurden, die Eins durchstreichen (oder ausradieren), wie dies in Abbildung 2b zu sehen ist. In dieser Abbildung wurde auch noch eine Eins in der dritten Zeile durchgestrichen, da die Eins in dieser Zeile ja inzwischen bekannt ist.

Es gibt eine ganze Reihe an Techniken, die alle auf dem gleichen Prinzip beruhen. Ganz allgemein formuliert lautet dieses Prinzip: Wenn zwei Zahlen nur noch an zwei Stellen stehen können, so kann man diese an anderen Stellen ausschließen. Die Techniken unterscheiden sich jetzt darin, welche Zahlen betrachtet werden, was man im konkreten Fall unter "Stellen" zu verstehen hat und wo diese sich befinden.

2 a) Erste Paar-Technik

In Abbildung 3a sehen Sie eine Rätselzeile, wie sie in einem Sudoku vorkommen könnte. In den beiden Feldern ganz links können nur noch die Zahlen Vier und Sieben stehen. Das bedeutet, dass in einem der beiden Felder die Vier und im anderen die Sieben stehen wird. Damit kann aber im Rest der Zeile keine weitere Vier oder Sieben stehen, weshalb Sie diese aus der Kandidatenliste entfernen können, wie dies in Abbildung 3b zu sehen ist.

Natürlich lässt sich diese Technik, die im englischen Sprachraum als Naked Subset bezeichnet wird, auch auf Spalten oder Gebiete anwenden. Dies können Sie jetzt im Sudoku aus Abbildung 2b im Gebiet oben rechts üben!

2 b) Zweite Paar-Technik

Ganz ähnlich funktioniert die zweite Paar-Technik, die auf englisch als Hidden Subset bezeichnet wird. Diese können Sie in der Rätselzeile, die in Abbildung 4a zu sehen ist, anwenden. Wie schon bei der ersten Paar-Technik finden Sie in den beiden Feldern ganz links die Zahlen Vier und Sieben. Diesmal kommen diese Zahlen im Rest der Zeile nicht mehr vor.

Deswegen müssen in den ersten beiden Feldern eine Vier und eine Sieben stehen und Sie können, wie in Abbildung 4b zu sehen, die anderen Zahlen in diesen beiden Feldern streichen. 

2 c) Dritte Paar-Technik

Im Sudoku in Abb. 5a sind nur die für diese Technik relevanten Kandidatenlisten abgebildet. Betrachten Sie die sechste und die letzte Spalte. In diesen beiden Spalten gibt es nur noch genau zwei mögliche Felder für die Drei, die beide in der ersten und der  dritten Zeile stehen. Somit muss eine der beiden Dreien in der ersten Zeile und die andere in der dritten Zeile stehen. In diesen beiden Zeilen können Sie jetzt alle weiteren Dreien durchstreichen, wie dies in Abbildung 5b zu sehen ist.

Jetzt können Sie zur Übung die gleiche Technik mit der Zahl Sechs in den letzten beiden Spalten anwenden. Diese Technik, die auch als X-Wing-Technik bezeichnet wird, wurde übrigens im Beispiel am Anfang dieser Anleitung benutzt.

Eine Variante der dritten Paar-Technik

Die dritte Paar-Technik lässt sich selbstverständlich auch mit vertauschten Rollen von Zeilen und Spalten anwenden. Eine interessante Variante ergibt sich, wenn man die Technik auf Spalten (bzw. Zeilen) und Gebiete anwendet. In Abbildung 6a ist ein solches Beispiel zu sehen, wiederum nur mit den für das Beispiel wichtigen Kandidatenlisten. Hier finden Sie in den Kandidatenlisten im Gebiet oben rechts die Zahl Eins nur in den beiden Spalten ganz rechts. Dasselbe gilt für das Gebiet in der Mitte rechts.

In den beiden Spalten ganz rechts muss deshalb eine der beiden Einsen im Gebiet oben und die andere im Gebiet in der Mitte zu finden sein. Im Gebiet unten können Sie somit die Einsen in den beiden Spalten ganz rechts ausschließen, wie dies in Abbildung 6b zu sehen ist.

Denselben Trick, der auf englisch als Block/Block Interactions bezeichnet wird, können Sie übrigens an genau der gleichen Stelle mit der Zwei anstatt der Eins noch einmal durchführen.

Viele der Paar-Techniken lassen sich auch auf Dreier-oder sogar auf Viererpaare übertragen. In der Praxis lassen sich diese aber mit zunehmender Anzahl der beteiligten Zahlen immer seltener anwenden. Außerdem wird es immer mühseliger, entsprechende Spalten etc. zu finden. Deshalb soll an dieser Stelle nur die populärste dieser Methoden angesprochen werden, die sogenannte Schwertfisch-Technik.

In Abb. 7 sehen Sie ein Beispiel, bei dem Sie die Schwertfisch-Technik anwenden können. Betrachten Sie hierfür die Zeilen 1, 5 und 6. In diesen Zeilen kommt die Sechs jeweils genau zweimal vor. Für die Anordnung der Sechsen gibt es nun noch zwei Möglichkeiten - entweder in den drei mit A oder in den drei mit B gekennzeichneten Feldern.

In jedem Fall befindet sich aber eine Sechs in der zweiten, fünften und letzten Spalte. Alle anderen Sechsen in diesen Spalten können deswegen ausgestrichen werden.

Eine ganz andere Kategorie von Techniken stellen die Was-wäre-wenn-Techniken dar, mit denen im Extrem der Fallunterscheidung jedes Sudoku gelöst werden kann. Der Nachteil dieser Techniken besteht darin, dass sie oftmals komplizierter sind als die bislang vorgestellten und zudem immer die Gefahr besteht, dass man sich beim Lösen vertut und dies erst sehr viel später bemerkt.

4 a) Die Widerspruchstechnik

In Abbildung 8a ist ein Sudoku zu sehen, bei dem sich die Widerspruchstechnik leicht anwenden lässt. Dabei sind wiederum nur die für die Technik relevanten Kandidatenlisten eingezeichnet. Diese wurden mit den Buchstaben A bis G markiert. Die Technik funktioniert wie folgt: Was wäre, wenn in Feld A, dem Startfeld, eine Zwei stünde? Dann stünde in Feld B Sieben und damit in Feld C eine Drei. Daraus folgt dann weiter, dass in Feld D ein Zwei stünde und in Feld E ein Sieben. Und weiter folgt, dass in Feld F eine Acht stünde und damit in Feld G eine Zwei.

Damit befinden sich aber zwei Zweien in der zweituntersten Zeile (im Feld A und im Feld G). Das ist ein Widerspruch, da in jeder Zeile jede Zahl nur einmal vorkommen darf. Deswegen kann im Startfeld keine Zwei stehen, denn wenn dort eine Zwei stünde, müsste ja in die gleiche Zeile noch eine weitere Zwei eingetragen werden.

4 b) Die Nishio-Technik


Ein Sonderfall dieser Methode ist die nach ihrem Erfinder benannte Nishio-Technik, bei der man sich auf eine Zahl beschränkt. Als Beispiel stelle man sich in Abbildung 8a wieder die Frage: Was wäre, wenn in Feld A eine Zwei stünde? Diesmal verfolgen Sie aber nur die Zweien in den anderen Gebieten. Man sieht sofort, im Gebiet unten rechts gibt es nur einen Platz für die Zwei und damit auch im Gebiet in der Mitte rechts und so weiter für alle anderen Gebiete. Als Ergebnis erhält man Abbildung 8b.

Wenn Sie sich jetzt fragen, was man dadurch gewonnen hat, dann lautet die Antwort: In diesem Fall nichts! Dies ist ein wichtiger Punkt bei den Widerspruchstechniken: Nicht immer kommt man damit zu einem Ergebnis. Oftmals muss man viele Irrwege in Kauf nehmen, bis man im Rätsel weiterkommt. Dies war ein solcher Irrweg.

Es wäre aber möglich gewesen, dass irgendwann in einem Gebiet keine Zwei mehr hätte stehen können. In diesem Fall hätten Sie die Zwei im Startfeld ausstreichen können. Im Beispiel-Sudoku am Ende dieser Anleitung lässt sich die Nishio-Technik erfolgreich einsetzen.

4 c) Die XY-Wing-Technik

Betrachten Sie Abbildung 9. In Feld A, dem Startfeld, kann noch eine Zwei oder eine Neun stehen. Was wäre, wenn in diesem Feld eine zwei stünde? Dann stünde in Feld B eine Sieben und in Feld D, dem Zielfeld, eine Drei. Fragt man hingegen: Was wäre, wenn im Startfeld eine Neun stünde? Dann stünde in Feld C eine Sieben und in Feld D eine Drei. Da im Startfeld keine andere Zahl als Zwei und Neun stehen kann, kommt man zu dem Ergebnis: Egal ob in Feld A eine Zwei oder eine Neun steht, im Zielfeld muss immer eine Drei stehen. Diese Drei können Sie somit dort eintragen.


Diese Technik lässt sich auch über mehr als vier Felder anwenden, was dann im Englischen als Forcing Chain bezeichnet wird. Es handelt sich dabei aber um dieselbe Technik, bei der Sie für jeden Kandidaten im Startfeld ("Was wäre, wenn dieser Kandidat dort stünde?") das gleiche Ergebnis im Zielfeld herausfinden. Möglicherweise gehen Sie dabei bei unterschiedlichen Kandidaten unterschiedliche Wege. 

Wenn gar nichts anderes mehr geht, dann bleibt nur noch die Fallunterscheidung. Dabei handelt es sich im Prinzip um die Widerspruchstechnik, die weiter oben schon behandelt wurde. Der Unterschied besteht darin, dass Sie diesmal die Antwort auf die Was-wäre-wenn-Frage nicht im Kopf lösen, sondern direkt auf dem Papier im Rätsel. Dadurch vermeiden Sie, an einen Punkt zu kommen, an dem Sie sich die Zwischenergebnisse nicht mehr merken können.

Für die Fallunterscheidung ist es ratsam, unterschiedliche Stifte parat zu haben. Beispielsweise nehmen Sie einen Bleistift, der dicke, und einen, der dünne Linien zeichnet. Oder Sie benutzen Stifte mit unterschiedlichen Farben. Mit dem ersten Stift zeichnen Sie alles in das Rätsel, was Sie mit den anderen Techniken lösen konnten. Wenn Sie dann an den Punkt gelangt sind, an dem Sie eine Fallunterscheidung treffen, so wechseln Sie den Stift und arbeiten mit dem anderen weiter. Dadurch können Sie, wenn Sie später radieren müssen, schnell sehen, welche Zahlen auszuradieren sind. Es gibt drei Möglichkeiten, die eintreten können. Der einfachste ist der, dass Sie das Rätsel vollständig lösen. Dann sollten Sie noch einmal überprüfen, ob auch in jeder Zeile, jeder Spalte und jedem Gebiet die Zahlen von Eins bis Neun genau einmal vorkommen. Möglicherweise haben Sie ja beim Lösen einen Widerspruch übersehen, und in irgendeiner Spalte steht eine Zahl doppelt.

Als zweites kann es passieren, dass Sie auf einen Widerspruch stoßen. In diesem Fall radieren Sie alles, was Sie mit dem zweiten Stift geschrieben haben, wieder aus und streichen im Startfeld die Zahl, die Sie ausprobiert haben. Sind dort noch mehrere Kandidaten übrig, so probieren Sie jetzt den nächsten Kandidaten aus. Findet sich im Startfeld hingegen nur noch ein Kandidat, so wechseln Sie wieder zum ersten Stift und versuchen, das Rätsel wieder mit einfacheren Techniken zu lösen.

Der dritte Fall ist der unbequemste. Es kann nämlich vorkommen, dass Sie keinen Widerspruch finden und trotzdem nicht weiterkommen. Erfahrungsgemäß ist es hier sinnvoll, alles, was Sie mit dem zweiten Stift eingetragen haben, wieder auszuradieren und eine weitere Fallunterscheidung mit einem anderen Startfeld oder einer anderen Zahl im Startfeld zu beginnen. Kommen Sie hierbei vielleicht in irgendeinem Feld auf dasselbe Ergebnis wie bei der vorherigen Fallunterscheidung? Dann ließe sich hier möglicherweise die XY-Wing-Technik anwenden!

Alternativ können Sie eine zweite Fallunterscheidung vornehmen. Dazu brauchen Sie einen weiteren Stift mit einer weiteren Farbe. Diesen Schritt sollten Sie sich aber gut überlegen, da mit jeder weiteren Fallunterscheidung die Gefahr, einen Fehler zu machen, stark ansteigt. Selbst Profilrätsellöser auf Weltmeisterniveau scheuen in der Regel vor dieser Möglichkeit zurück.

In Abbildung 10a ist ein Beispiel für ein extrem schweres Sudoku abgebildet. Versuchen Sie, dieses mit den obigen Techniken zu lösen, bevor Sie weiterlesen.

Hier folgt eine Beschreibung des vollständigen Lösungsweges für dieses Rätsel. Die ersten Zahlen sind noch einfach: Die Fünf im Gebiet ganz in der Mitte, die Acht im Gebiet in der Mitte rechts können durch Scannen gefunden werden. Im Feld ganz in der Mitte kann dann nur noch eine Neun stehen, alle anderen Zahlen kann man hier ausschließen. Mit dieser Neun erhält man durch Scannen auch noch die Neun im Gebiet in der Mitte links (siehe Abbildung 10b, in der jetzt auch alle Kandidatenlisten abgebildet sind).

Weiter geht es mit der X-Wing-Technik: In der dritten und fünften Spalte kann die Eins nur noch in den obersten beiden Zeilen stehen. Somit können Sie in diesen Zeilen einige Einsen streichen. Aufgrund dieser gestrichenen Einsen finden Sie dann die Eins in der vorletzten Spalte. Durch diese Eins können Sie wiederum die Eins in der Kandidatenliste direkt daneben streichen (siehe Abbildung 10c).  

Jetzt folgt die zweite Paar-Technik im Gebiet oben rechts. Dort gibt es nur noch zwei Felder, in denen die Eins und die Neun stehen können, alle anderen Kandidaten können gestrichen werden. Damit gibt es in diesem Gebiet aber nur noch eine Stelle für die Sechs (und einige weitere Sechsen können gestrichen werden). Jetzt kommt mit denselben zwei Feldern die erste Paar-Technik zum Einsatz: Im Gebiet oben in der Mitte können Sie damit eine Neun streichen (siehe Abbildung 10d).

An dieser Stelle können Sie gleich zweimal die X-Wing-Technik anwenden. Zuerst auf die Spalten 2 und 5: Dort kann sich die Sechs nur noch in der obersten und der zweituntersten Zeile befinden. Dann noch einmal auf die Spalten 4 und 6, wobei sich die Neun nur noch in der obersten und der drittuntersten Zeile befinden kann. Nachdem Sie noch die Sechs in der dritten Spalte gefunden haben, erhalten Sie Abbildung 10e.

An dieser Stelle kommen Sie weder mit den einfachen Techniken noch mit den Paartechniken weiter. Deswegen wird es notwendig, auf eine der Was-wäre-wenn-Techniken zurückzugreifen. Hier bietet sich die XY-Wing-Technik an.

In dem in Abbildung 10f mit A bezeichneten Feld kann nur noch eine Zwei oder eine Drei stehen. Wenn hier eine Zwei stünde, so stünde in Feld B eine Vier, und somit kann in Feld D keine Vier stehen. Wenn hingegen in Feld A eine Drei stünde, so stünde in Feld C eine Vier – wiederum kann in Feld D keine Vier stehen. Die Vier in Feld D können Sie also streichen.

Auch die Nishio-Technik lässt sich hier einsetzen, und zwar mit der Fünf im Feld E in Abbildung 10f. Wenn in diesem Feld eine Fünf stünde, dann wäre im Gebiet oben rechts kein Platz mehr für eine Fünf. Deswegen können Sie die Fünf in Feld E streichen und damit direkt daneben eintragen, denn in der untersten Zeile ist jetzt nur noch ein Feld für die Fünf übrig. An dieser Stelle lässt sich eine Fallunterscheidung nicht mehr vermeiden. Doch welches Startfeld ist das Beste für die Fallunterscheidung? Geeignet sind hierfür oftmals die Felder, in denen sehr kurze Kandidatenlisten stehen und wo für jeden Kandidaten auf einfachem Weg sehr viel erschlossen werden kann. Ein solcher Kandidat ist Feld A in Abbildung 10g.

Was wäre, wenn in diesem Feld eine Zwei stünde? Zuerst lassen sich die Gebiete Mitte links, Mitte und Mitte rechts fast vollständig auffüllen. Dann stellen Sie fest, dass im Gebiet oben in der Mitte nur noch ein Feld für die Zwei übrig ist, und danach nur noch eines für die Eins. Die entsprechende Spalte können Sie dann komplett ausfüllen.

Betrachten Sie jetzt das Gebiet unten links. Dort muss die Sechs in das Feld ganz unten links. Dasselbe gilt allerdings auch für die Acht, die ebenfalls in das Feld ganz unten links muss. Dies kann nicht sein, da in jedes Feld nur eine Zahl darf. Somit war die Zwei im Feld A der falsche Kandidat und wir können dort die Sieben eintragen.

In Abbildung 10h sehen Sie das Sudoku, nachdem noch einige einfache Techniken benutzt wurden, um weitere Informationen zu erhalten. Wieder steckt man fest. Aber erinnern Sie sich, dass bei der letzten Fallunterscheidung die Spalte in der Mitte sehr hilfreich war. Was passiert, wenn wir dort, wie bei der Fallunterscheidung soeben, eine Eins ganz oben eintragen? Wiederum kann man diese Spalte komplett ausfüllen und wiederum kommt man zu dem Ergebnis, dass im Feld ganz unten links sowohl die Sechs als auch die Acht stehen muss. In der mittleren Spalte können Sie also ganz oben die Eins ausschließen. Ab hier sind bei diesem Sudoku keine Klippen mehr zu überwinden.